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本节课的内容是九年制义务教育课程标准实验教科书，人教版八年级下册第十七章第一节勾股定理第1课时．
勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
．勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征（三角形中有一个角是直角）转化成数量关系：三边之间满足等式：，它搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用．勾股定理体现了数形结合的思想方法，具有科学创新的重大意义．勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了在三角学、解析几何学、微积分学的建立，使数学的几何学和代数学两大门类结合起来，对数学进一步的发展拓宽了道路．没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦．因此，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一．
勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，体现了从特殊到一般的探索过程，由具体的关系归纳出抽象的猜想，学生亲手实践赵爽的等面积证法，证明猜想、发现定理，并以此引导学生探索、发现、证明定理的思路．通过对勾股定理的探究和发现，培养学生学习数学的热情和自信心．
我国对勾股定理的研究和其他国家相比是比较早的，在国际上得到肯定．通过对勾股定理历史和我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养学生的民族自豪感，品味数学文化．学生欣赏勾股树的神奇，感受数学美，激发学生的兴趣和热情．
八年级学生经过一年多的几何学习，已经初步具备几何图形的观察能力和几何说理的思维能力．但是让他们直接发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方有一定的难度。对于如何通过拼图来证明勾股定理，学生对这种解决问题的途径还比较陌生．因此，本节课采用直观教具、多媒体手段，让学生动手、动口、动脑，化难为易，深入浅出，让学生感受学习知识的乐趣．
1.理解直角三角形三边的数量关系，并掌握勾股定理及其证明．
2.在学生经历“观察—猜想—归纳—验证”勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想．
3.通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维；在探究活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探究的结果．
4.了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感；在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神．
教学重点：探索并证明勾股定理．
教学难点：用等面积法（拼图法）证明勾股定理．
相传，在2500年前，毕达哥拉斯应邀参加一次豪华聚会，不知道什么原因，大餐迟迟不上桌。善于观察和理解的毕达哥拉斯没有注意这些，而是被脚下规则、美丽的方形石砖所深深吸引，他不是在欣赏它们的美丽而是在思考它们和“数”之间的关系．于是，在大庭广众之下，他蹲在地板上，拿起画笔，画了三个正方形A、B、C。结果，他惊奇地发现，A与B的面积之和正好等于C的面积．后来，他又做了进一步的演算，最终证明了一个非常重要的定理，也就是我们这节课将要学习的——勾股定理．
师生活动：学生在老师的引导下观察，分析、思考其中隐含的规律．八年级学生喜欢鲜活、生动的例子，尤其是有故事背景的例子．此处通过毕达哥拉斯的故事，成功地捕捉了学生的兴趣点，学生的积极性被调动起来．达到“课未始、兴已浓”的状态．
教师将地砖图案逆时针旋转，隐去倾斜线段，可发现这个图案就存在于正方形网格中（如图甲）．
问题1：设每个小方格的边长均为1，（1）分别计算图中正方形A，B，C的面积；（2）正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
师生活动：在网格中学生观察、分析、思考，得到正方形A，B的面积都是4，正方形C的面积是8，正方形A，B的面积之和等于正方形C的面积．
【设计意图】从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，并进行初步的一般化（等腰三角形边长的一般化）．
问题2：在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A，B，C又有怎样的面积关系呢？
师生活动：学生动手计算，分别求出A，B，C的面积并寻求它们之间的关系，教师巡视，通过平板进行抢答，由学生讲解．
难点：求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积，教师在学生回答的基础上归纳方法——割补法．
【设计意图】为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法．
追问：现在，我们将正方形都挪开，设中间的直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，通过前面探究活动所得的结果，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？
师生活动：教师引导学生，提出猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：．
【设计意图】在网格背景下通过观察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三边关系，为形成猜想提供了典型特例，通过归纳，猜想变得水到渠成．
这仅仅只是我们的一个猜想，数学中，一个命题要想能在解题中直接运用，需要严格的证明．
问题3：特殊给我们启示，而一般才具有代表性．去掉网格，该如何证明？
小组合作，深入探究：
（1）拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）；
（2）你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？
（3）你拼的正方形中是否含有以c为边长的正方形？
（4）你能否就你拼出的图说明？
师生活动：学生在独立思考的基础上，以小组为单位，动手拼接；教师深入小组参与活动，关注学生能否进行合理拼接，倾听学生的交流，对不同层次学生给予帮助、指导学生完成拼图活动．教师尽量不干扰学生独立思考与交流，对分工合作不合理的小组给出恰当引导性建议．教师利用平板设置小组抢答，激发学生动脑思考，培养学生勇于展示自己的能力．
学生之间合作，将拼接的两种结果展示在黑板上：
图1 图2
追问1：如何运用图1来证明我们的猜想呢？
师生活动：学生讲解证明思路和方法，教师板书证明过程，并带着学生一起总结：这是几何中一种非常重要的证明方法—等面积法．这种证明方法是由古代数学家赵爽发现的，这个漂亮的图就称之为“赵爽弦图”，因此，这种证明的方法就称为“赵爽弦图证法”．
师生活动：教师介绍“赵爽弦图”是通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲. 因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 学生欣赏图片，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献，增强民族自豪感.
追问2：运用图2，又该如何证明我们的猜想呢？
师生活动：学生小组合作并展示拼图，教师用平板拍照上传学生的证明过程，证明勾股定理．这就是传说中毕达哥拉斯的证法．
板书：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
几何语言：
在直角三角形中，我们把较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，所以勾股定理也叫“勾股弦定理”．
师：介绍总统证法—伽菲尔德证法，仅用2个直角三角形，拼成了直角梯形，也可以用等面积法来证明. 其实，迄今为止，勾股定理已经有400多种证法，大多数是通过等面积法来证明的，我们这节课只是抛砖引玉．希望同学们学了新的知识之后，能尝试其他的方法．
【设计意图】以网格为依托，直观展现了图形的面积，脱离网格才是学生思维的完善和飞跃，遵从由简单到复杂的认知规律，渗透从特殊到一般的数学思想．通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合的思想．
课上学生亲手实践的三种证法都是等面积证法．通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心．
同时，给学生留有继续学习的空间和兴趣．
练习：判断正误，对的画√，错的画×．
（1）直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方．（ ）
（2）如图，在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，则：． （ ）
【设计意图】通过两个判断题，加深学生对定理的理解，提醒学生认真审题. 本题通过平板提交，可以及时发现哪些学生出现错误，在哪些方面出现错误，教师讲解更有针对性，学生对定理的理解更深刻.
例题精讲
例1．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．
（1）已知a=3，b=4，求c；
（2）已知c=25，b=15，求a．
【设计意图】学生应夯实勾股定理的内容及其变形的结论，掌握在直角三角形中，已知任意两边长，求出第三边长的方法，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想．通过书写过程强化勾股定理的内容和几何语言的表达，培养学生说理的习惯，树立利用数形结合解决问题的意识．第（1）题有教师板书解题格式，进行示范引领，第（2）题由学生自己写过程，通过平板拍照提交，教师随机选取优秀的进行表扬，对有问题的解答过程进行讲解.
变式提升：
在一个直角三角形中， 两边长分别为3，4，则第三边的长为（ ）
【设计意图】设计易错问题，提高学生分析问题和解决问题的能力．在直角三角形中，已知任意两边长，求三边长时，要注意确定所求线段是直角三角形的直角边还是斜边，如果不确定，要分情况讨论．通过本题的练习，学生对定理的使用更加熟练，进一步体会分类讨论的思想．本题通过平板提交答案，便于对数据进行统计.
例2．如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别是3，4，1，3．则最大正方形 E 的面积是________________．
最大正方形的面积等于四个小正方形A，B，C，D 的面积之和，如果以同样的方法继续向外做直角三角形和正方形，会得到怎样的图案呢？
师生活动：教师借助《几何画板》软件的迭代功能，演示漂亮的勾股树的形成过程，学生认真观察，品味数学之美．
【设计意图】本题进一步体会以直角三角形三边为边长的正方形的面积关系．通过《几何画板》软件演示多层分层结构，体验形状虽变但面积不变，感受数学美．为学生设计了观赏勾股树, 让学生在数学的美妙与神奇中充分享受, 更进一步激发了学生的兴趣和热情．
回顾过去，我们古人充分发挥他们的聪明才智，发现并证明了勾股定理.
着眼现在，我们来谈一谈这节课，你都收获了些什么？
师生活动：学生自由谈本节课的收获．教师对学生的精彩发言予以恰当评价，注意纠正学生的错误与不足．
教师总结：我们探索了直角三角形三边的数量关系，用两种拼图方案：赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图，运用面积恒等法证明了三边关系，得到著名的勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．本节课用到的特殊解题方法有：割补法、等面积法．体现的重要思想方法有：数形结合思想、从特殊到一般的思想、方程思想、分类讨论思想．
【设计意图】让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，养成学习—总结—学习的良好学习习惯，发挥自我评价的作用，培养学生语言表达能力．在学习过程中感受到中国数学文化博大精深和数学的美，感悟数形结合的思想，增强对数学学习的自信．
（1）通过上网、查阅资料等方式收集勾股定理的有关趣事及其他证明方法．
（2）核心素养提升
放眼未来，华罗庚曾设想：向太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果外星人是“文明人”，也必定认识这种图形．
如果把这个图形中的正方形换成以直角三角形各边为直径的半圆，则半圆A，B，C的面积关系为________________．
进而，从直角三角形的各边向外作正方形能否推广到从各边向外作等边三角形、正五边形、正六边形等正n边形吗？课后同学们继续探索．
【设计意图】由勾股定理的式子结构，联想到正方形面积的几何图形，将正方形换为圆形、半圆形、等腰直角三角形以及等边三角形，其面积的关系仍成立．学生经历数形的互换，体验勾股定理的价值．
设为正确答案
湘教智慧云 
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