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本节内容是高中数学(人教版(新))必修一第三章《函数的概念与性质》第三节《幂函数》的《探究与发现》。本节内容的编写安排在完成《函数的概念及其表示》，《函数的基本性质》，《幂函数》的教学之后，旨在引导学生利用前面学习的知识，通过探究函数y=x+1/x的图象和性质，进一步理解巩固函数的相关概念，使学生进一步掌握研究一类函数的基本内容（解析式、定义域、值域、图象、单调性、奇偶性）、基本思路（定义、表示---图象和性质---应用）和方法。在研究方法上，强调通过代数运算和图象直观揭示函数性质，构建从具体到抽象、从特殊到一般的过程，提升学生数学运算、直观想象，数学抽象等核心素养。
学生通过前三节内容的学习，对函数的概念及其表示方法有了较深的理解，对函数的单调性和奇偶性的概念，几何直观和代数表示有较好的认识，对研究一类具体函数（幂函数）的基本思路有了初步印象。在此基础上，希望通过对函数y=x+1/x的图象和性质的探究，进一步巩固提升相关函数知识，加深强化对函数研究方法的理解和实际操作。
（1） 进一步掌握研究一类具体函数的基本内容、基本思路和方法，从方法论的角度引导学生构建知识体系与框架，逐步培养学生自 主研究的科学精神；
（2） 引导学生掌握利用信息技术手段作出函数图象，从图象直观的角度观察探究函数性质的方法，让学生体验到信息技术在数学学 习和研究中的重要作用；
（3） 进一步巩固从代数运算的角度证明函数性质的方法，培养学生严谨治学的数学精神，提升数学抽象素养；
（4） 进一步训练学生用符号语言精确表达数学对象的能力。
教学重点
（1） 掌握研究一类具体函数的基本内容、基本思路和方法；
（2） 巩固从图象直观的角度观察探究函数性质的方法；
（3） 巩固从代数运算的角度证明函数的性质的方法；
（4） 训练学生用符号语言精确表达数学对象的能力。
教学难点
（1） 培养学生在新知识的探究过程中加强与已有经验的联系和对比的学习习惯；
（2） 培养学生在数学学习中养成总结归纳，构建知识体系与框架的学习方法；
(3) 利用逼近思想作出y=x+1/x的图象的简图，培养学生逻辑推理和直观想象能力。
探究函数y=x+1/x的图象与性质
一、研究内容（函数图象、性质）
二、研究路径（定义域、值域、奇偶性、图象、单调性）
三、函数的值域（学生板书解答过程）
四、函数的单调性（展台展示学生证明过程）
五、函数的奇偶性
教学过程
课前准备：学生分组探究研究内容，研究路径。
设计意图：培养学生自主探究能力。
（一） 引入
引导语：在初中，我们知道y=x是正比例函数，y=1/x是反比例函数。学习了幂函数以后，我们知道它们都是幂函数。不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数。那么，将这两个函数相加构成的函数有哪些性质？这些性质与这两个函数的性质有联系吗？
下面请同学们带着问题探究下函数y=x+1/x
（二） 研究内容
问题1：你认为可以从哪些方面研究这个函数？（请各小组派代表展示）
师生活动：学生回答，教师归纳小结。
教师指出：可以从函数的概念、图象和性质、应用等方面进行研究。
设计意图：让学生通过思考回顾幂函数的学习过程，明确研究一类函数有哪些基本内容。
（三） 研究路径（请各小组派代表展示）
问题2：你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？
师生活动：学生回答，教师归纳小结。
教师指出：可按照定义域---奇偶性----值域---图象---单调性---应用的路径进行研究。（或按照定义域--值域--奇偶性--图象--单调性--应用的路径研究）
设计意图：通过此问题设计，让学生制定研究函数的基本流程，理清研究顺序。
（四） 函数的定义域
问题3：该函数的定义域是什么？
师生活动：学生回答，教师评价并在PPT上展示结果。
设计意图：复习函数的概念中定义域的求法及表示。
（五）函数的奇偶性
问题4：你能判断出函数的奇偶性吗？
设计意图：先讨论函数的奇偶性可以简化函数的研究过程。
（六） 函数的值域
问题5：该函数的值域是什么？能根据解析式得到吗？
师生活动：由学生回答，如学生答不出，则引导学生观察解析式结构特征，启发学生利用基本不等式求出函数值域。教师进行评价纠错并在PPT上展示结果。
追问（1）：除了上述方法，你还有其他方法求出该函数的值域吗？
师生活动：学生回答，教师指出还可以利用函数的图象来确定函数值域。
设计意图：复习函数的概念中值域的求法，指出可以从代数角度即利用解析式得出函数值域，也可以根据函数图象求值域，从而引出函数图象的画法及后续研究内容，引入数形结合的数学思想方法。
（七） 函数的图象
问题6：你能利用函数y=x和函数y=x+1/x的图象画出函数y=x+1/x的简图吗？
师生活动：学生动笔，教师巡查。可能学生画图情况不太理想，此时教师可适当启发提示学生将两个函数图象画在同一坐标系内，观察有无特殊点（描点法思想）？再引导学生考虑两个函数在第一象限内的函数值的变化情况。设计以下追问。
追问（1）：当x从正方向无限逼近于0时，y=x的函数值会逼近于多少？y=1/x的函数值呢？函数y=x+1/x的函数值呢？在图象上如何反映？
师生活动：学生回答，教师小结，并在黑板上画出部分简图。
追问（2）：当x逼近于正无穷大时，y=x的函数值会逼近于多少？y=1/x的函数值呢？函数y=x+1/x的函数值呢？在图象上如何反映？
师生活动：学生回答，教师小结，并在黑板上画出部分简图。
追问（3）：你发现画出的简图中有哪些渐进线吗？
设计意图：在教学中，沿用初中描点法的思想画图，无法找到更多关键点准确描述图象的变化趋势；在这里，根据对已知熟悉函数图象的观察，引导学生学会用无限逼近的思想来探讨图象的变化趋势，这是不同于初中的一个视角。同时，也是强调新知识的探究与已有经验的联系与类比，培养学生图像直观以及数学分析能力。
追问（4）：如何画出函数y=x+1/x在第三象限内的简图？
师生活动：学生讨论，自行画图，教师巡视后，在展台上展示学生作品，并请学生解说作图方法。可能部分学生会仿照第一象限图象的画法分析函数在第三象限内的图象的变化趋势，从而得到图象；也可能有学生会从解析式观察到该函数是奇函数，而后利用对称性画出剩余部分图象。此时教师应给予充分肯定和鼓励。
设计意图：追问（4）的设计，一方面训练学生的模仿和分析能力，巩固无限逼近思想；另一方面也是鼓励学生多角度思考问题，关注数与形的结合，关注函数奇偶性的几何特征。
教师活动：教师利用《几何画板》或者《GeoGebra》在电脑上作出函数的图象，验证我们所画的简图的正确性。
设计意图：向学生介绍常见数学软件，演示基本使用方法，激发学生利用信息技术工具自主探究学习的兴趣。
（八） 函数的性质
问题7：你能通过观察函数的图象，得到它的性质吗？
师生活动：学生回答单调性和奇偶性，教师评价纠错，注意强调用准确数学语言描述其性质，单调性强调是函数局部性质，奇偶性强调是函数整体性质，并在PPT上打出结果。
设计意图：旨在培养学生的直观想象素养，强化图象在函数学习中的重要地位，同时持续贯彻培养学生用数学符号语言精确表达数学对象的能力。
问题8：图象只能给我们以形的直观认识，你能从代数运算的角度对你观察到的性质进行严格的证明吗？
师生活动：学生分为两组，一组证明函数的单调性，一组证明函数的奇偶性。教师巡查指导，大部分学生完成后在展台上展示学生作业，并请两组学生互相评价纠错。最后教师在PPT上展示标准解答过程。
设计意图：引导学生对观察到的性质进行理性思考，利用解析式对结论进行严格证明，提高思维的严谨性，同时引导学生认识到用抽象语言表述的单调性、奇偶性定义在证明中的重要作用，训练学生书写的规范性严谨性，强调图像直观和代数运算两种重要的函数研究方法。
关于(六)和(七)的具体教学实施:
1、在完成对函数定义域、奇偶性,、值域的讨论后，安排分小组讨论函数的图象和性质，部分小组重点展示对图像的而研究成果；部分小组重点展示函数性质的研究成果。
2、在小组讨论时教师给予正确的适当的引导和启发，协助学生顺利高效完成探究。
3、在评价小组成果展示时，教师注意研究方法的比较和评价。
设计意图：放手让学生根据大体的路径去探讨，形式更灵活，更好调动学生的自助探究的积极性，也能更好地展示和体现不同研究路径的优劣。最后让学生感受多角度综合研究函数的方法。
（九） 拓广探索
你听说过对勾函数（Nike Function）吗？你能仿照今天的流程和方法探究函数y=ax+b/x(ab>o)的图象和性质吗？请同学们分小组研究，并以小组为单位提交研究报告。
师生活动：教师可搭适当的梯子，从具体函数过渡到一般形式，也可利用信息技术作图引导。
设计意图：给出课题，让学生在本节课的学习基础上，自行探究对勾函数的图象和性质，实践函数的研究方法。
（十） 课堂小结
本节课我们从代数运算和图象直观两个角度研究了函数图象与性质，进一步巩固了函数的相关概念及证明方法。
设计意图：一是总结研究函数的内容，方法和思路；而是提醒学生巩固相关基础知识，提高运算及证明能力。
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