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有关无理数的知识是湘教版八年级上第三章的内容，隶属于“数与代数”领域，教材中第一次出现无理数的概念是在第三章第一节第二课时。本节课在学习了平方根的概念的基础上安排的，从开不尽方的
谈起，将学生对数的认知在有理数的基础上，引入无理数，同时为后面学习实数及二次根式做铺垫，也是后期学习一元二次方程，解三角形的基础。本着从学生实际认知情况出发，从拼图游戏出发，引入课堂，从求面积为2的正方形的边长出发，自然引入，在自主合作探究交流的过程中，观察、分析、归纳、概括的基础上，理解无理数的概念，抓住本质，帮助学生理解有理数和无理数的区别，能够辨别有理数和无理数并理解无理数的三种表现形式。
教学对象是八年级学生，
从学习内容的角度看，这是3.1平方根的第二课时，在学习本节课之前学生已经学习过有理数的概念及分类，初步认识了平方根，能求出一些平方数的平方根和算术平方根，知道了正数
的平方根可以表示为“
”，其中算术平方根为
。这样就使得学生在探究活动中能自然得出。
从认知的角度来看，八年级的学生已经逐渐能从具体事例中归纳问题本质，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律，具有一定的分类思想；
从学习能力方面看，在前面的学习过程中，积累了自主合作探究的经验，具备合作交流和归纳概括能力。
1、知识与能力目标：
（1）发现无理数，了解数学史，得到无理数的概念；
（2）能够对所给数据进行分类，区分有理数，无理数；
（3）掌握初中阶段常见的无理数的三种表现形式。
2、过程与方法目标：
通过活动探索发现，在已有的有理数的基础上，难以解释一些问题，自然而然引入无理数，为实数的学习打下基础，为数域的扩充做准备。
3、情感态度与价值观目标：
（1）从拼图游戏中的的出现，再到对其进行估值，直观感受其不是有理数，进而引入无理数概念，再进一步对是无理数进行证明，让学生感受知识发现，猜想，证明的全过程，有助于学生思维的发展，培养学生的数学核心素养。
（2）介绍无理数的发展历史，让学生感受无理数从无到有，从不完善到完善的产生，发展历程，从而体会到知识发展的艰辛和探索出错的正常，认识到在追求真理的道路上，坚持不懈才能有所成就，孜孜不倦终将克服困难，将数学教育与德育相结合。
教学重点
1、理解无理数概念；
2、能区分有理数，无理数；
3、引导学生总结归纳出无理数常见的三种表达形式。
教学难点
能区分有理数和无理数，并且按要求对数据进行分类。
活动一、情境导入，发现问题
拼图活动：上一节课结束就布置任务，给定两个边长为1的正方形，如何通过剪，拼，设法得到一个大正方形。请同学上来展示。
还会有其他一些展示：
随即提出了问题串：
问题1：我们得到的这个新的大正方形的面积是多少？你能计算出它的边长吗？
设大正方形的边长为x,不难得出
，根据实际意义和算术平方根的定义，我们可以得出
。
接下来，我们就从 谈起 吧！（观看数学史小视频，了解由引发的第一次数学危机）
设计意图：
通过对无理数发现的小视频的观看，让学生了解数学史，丰富学生的视野，理解毕达哥拉斯学派，以及希帕索斯。让学生感受无理数从无到有，从不完善到完善的产生，发展历程，从而体会到知识发展的艰辛和探索出错的正常，认识到在追求真理的道路上，坚持不懈才能有所成就，孜孜不倦终将克服困难，将数学教育与德育相结合。
问题2：是整数吗？
很明显，不是整数，因为1的平方比2小，2的平方又比2大，所以应该在1到2之间。
问题3：是分数吗？
1到2之间的分数有很多，其中有没有一个这样的分数，它平方以后恰好等于2？找几个分数试试看。
回忆旧知：
在之前，我们学习了有理数，知道了有理数包括整数和分数（也就是说，有理数可以写成两个整数的比的形式），而一般，分数可以可以写成有限小数和无限循环小数（无限循环小数可以化为分数并举例），有理数都可以写成两个整数之比，但我们刚直观发现感觉并不属于这两类。接着，我们来证明下不是有理数。
活动二：证明不是有理数
其实早在2000多年前，古希腊数学家欧几里得就在《几何原本》中给出证明。采用反证法
证明，假设是有理数，则可以写成两个互素的整数的比，设
，（
，
为正整数，且，互素）两边平方可得
，即
，
可发现等式右边是偶数，所以左边的
也是偶数，可推出是偶数，设
，则
，则
，同理，也为偶数，这说明m,n有大于1的公约数，与假设矛盾。
现在我们已经严谨的证明了不是有理数，那么说明，我们的有理数不够用了，那就得用一种新的数来表示——无理数的产生。
设计意图：
通过复习有理数的分类和动手证明无限循环小数化分数，明白有理数的真正含义，为接下来证明不是有理数做准备，也能更好的理解无理数的含义。通过对不是有理数的证明，发现确实有理数不够用了，让学生明白引入新的数——无理数是必须的。
活动三：探究的近似值
教师事先准备好数据：（这里可以考虑让学生自己用计算器进行计算，或者是教师用计算器展示，让学生感受不断逼近的过程）
让学生直观感受是一个小数点后面的位数可以不断增加的小数，为无理数概念的引出埋下伏笔。
设计意图：
从拼图活动出发，让学生真实感受到的存在，通过问题串的设置，引导学生发现不同于我们之前学过的整数和分数，用正方形面积对近似值的探究，让学生直观感受是无限不循环小数，体会无理数与有理数的区别。
我们已经证明了不是有理数，它是一个无限不循环小数。
无理数的概念：我们把无限不循环小数叫无理数。
注：我们之前学习过的
也是无理数；
无理数也是有正负之分的；
根据实际的需要，我们往往用一个有限小数来近似表示一个无理数。
（此处可以让学生自己用计算器计算近似值）
设计意图：
总结对的探索，得出这一类数与有理数的区别，引入无理数的概念，并总结出初中常见的无理数的表现形式，加深学生对无理数的认识。
概念精致：
引导学生理解无理数的概念，抓住本质。让学生根据自己对无理数的理解，举例子，说出自认为是无理数的数，教师根据学生存在的问题，加以指点，师生共同总结出常见的无理数的表现形式。
师：大家学习了无理数的概念，大家能不能说出一些无理数？
生：
.....
生：
（有些学生异议），并且认为只要含有"根号”的数字就是无理数。
师：是无理数吗？我们知道
是有理数。
注1：并不是所有带根号的数都是无理数，只有开不尽方的数才是无理数。
师：除了开不尽方的数，你们还能举出其他无理数的例子？
生：老师，是无理数，那么，只要含的数就是无理数吧。（部分学生异议）
生：不一定吧，比如，
都是有理数。
注2：并不是所有含的数都是无理数。
师：那试卷上还会怎么表示无限不循环小数呢？比如0.1010010001...(每两个1之间0多一个），像这种有规律但无限不循环的人造数。各位同学也可尝试构造一些人造数。
总结归纳：
例题1.判断题（概念辨析）
①有理数都是有限小数。 （ ）
②有限小数都是有理数。 （ ）
③无理数都是无限小数。 （ ）
④无限小数都是无理数。 （ ）
⑤无理数都是开不尽方的数。 （ ）
⑥开不尽方的数都是无理数。 （ ）
⑦带根号的数都是无理数。 （ ）
⑧无理数包括正无理数，0，负无理数。 （ ）
例题2.（分类题）把下列各数进行分类，将它们填入相应位置：
有理数：
无理数：
例题3.（分类题）把下列各数进行分类，将它们填入相应位置：
正有理数： 正无理数：
负有理数： 负无理数：
设计意图：
通过学生自己的举例，帮助学生的练习，帮助学生更好地辨析无理数的概念，加深无理数的外延。同时，通过分类例题的练习，将之前学习过的一些运算综合在一起，形成知识网络。
问：本节课你学习了哪些知识？在探索知识的过程中，你用了哪些方法？
学生根据自己的学习情况进行概括总结，由学生举手发言，学生倾听同伴意见，互相补充。教师应关注学生的表现，包括知识掌握情况、情绪状况等,引导学生补充，共同概括。
这节课，我们一起感受了无理数的发现，发展历程，体会到了知识知识发展的艰辛和探索出错的正常。但是，在追求真理的道路上，我们坚信：坚持不懈才能有所成就，孜孜不倦终将克服困难。
学法大视野60--61页探究三
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