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《函数的单调性》包括函数的单调性的定义及单调性的证明。该性质是函数众多性质中重要的性质之一，它是前一节内容函数的概念和图象知识的延续，并和后面的函数的奇偶性合称为函数的基本性质。函数的单调性是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数的重要性质之一，在解决函数定义域、值域、求函数最值，比较两数（式）的大小的问题中都有重要的作用。
在初中阶段，学生已经初步了解一元一次函数，反比例函数、一元二次函数的图象具有增减性的特征。到了高中阶段，需要再此基础上进一步用符号语言来表述函数的单调性。对学生来说，从图象上看出单调性并不难，但要从数的角度理解函数的单调性并不简单。在使用符号语言过程中，“任意”两字是学生遇到的一个难点，需要注意。特别是不能用特殊代替所有。另外，函数单调性证明过程中的运算也是一个难点。高一学生抽象概括能力薄弱，其认知能力的局限性对构建函数单调性的概念造成的一定困难。
1、学业要求
（1）掌握函数单调性的定义，知道函数的单调性是函数的局部性质；
（2）掌握用定义证明函数单调性的一般步骤，并能用定义法判断一些简单函数的单调性；
（3）学会运用函数图象理解和研究函数的性质，领会数形结合的数学思想方法。
2、核心素养
（1）经历由具体到抽象、由图形语言到自然语言到符号语言表达的过程，发展学生的数学抽象素养；
（2）在把握函数单调性的定义时，体会全称量词、存在量词等逻辑用语的作用，发展学生的逻辑推理素养；
（3）在函数单调性证明的过程中，发展学生数学运算素养。
重点：函数单调性的判断与证明。
难点：（1）函数单调性概念的抽象过程；
（2）用定义法证明函数单调性过程中的运算。
实例 科考队对沙漠气候进行考察，下图是某天气温随时间的变化曲线. 请你根据曲线图说说气温的变化情况？
问题1 在初中阶段已经学过一元一次函数、反比例函数、一元二次函数，请根据函数图象，分别述说x在哪个范围变化时，y随着x的增大而增大或者减小？
一元一次函数、反比例函数、一元二次函数示意图
【设计意图】学生先用自己的语言描述增减性，这是学生初中已经接触和学习过的内容，在认知上，不会有陌生感，便于学生接受。
设函数的定义域为I，区间 D包含于I. 在区间D上，若函数的图象（从左向右）总是上升的，即 y随x的增大而增大，则称函数在区间D上是递增的，区间D称为函数的单调增区间.
根据图像，请你描述该函数的增减性。
【设计意图】给出增函数（减函数）与单调区间的概念，让学生用相对规范的语言再次描述函数的单调性。
问题2 （1）下图是函数y=f(x)的图象，它在定义域R上是递增的吗？
该函数的解析式为y=0.001x+1
【设计意图】让学生发现有时仅仅凭借图象判断单调性，不准确，会出错。
（2）函数y=x+1/x,在区间(0,＋∞)上有何单调性？
【设计意图】有的函数仅凭解析式也无法准确判断单调性。从而引出下面的问题。
（3) 如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y随x的增大而增大” ？
动画演示y=x^2在[0,＋∞)上y随x的增大而增大。
【设计意图】借助图象实现验证。
问题3 (1)对于函数y=f(x),若f(-2)<f(2)<f(8)，能否据此得出“f(x)在区间[－2，8]上递增”的结论？观察下图加以说明。
【设计意图】无数成立也不能保证所有成立。
回顾 用“任意”代替一一验证
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集(subset).
关键：任意
问题4 (1)如何用数学语言精确刻画函数y=f(x)在区间D上递增呢？
【教师引导】
(2)试着用数学语言精确刻画函数y=f(x)在区间D上递减？
【板书】
通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？
关键词： 三种语言，数学思想等
课后思考：
根据单调性的定义，证明函数 y=x+1/x，x∈(1,＋∞)是递增的。
设为正确答案
