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本节主要内容是双曲线的概念和标准方程，以及它的简单几何性质.双曲线的研究是完全类比椭圆的研究方法进行的，教学时应特别强调通过类比学习本节内容.
学生刚刚学习过椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方程到性质，从性质到应用.双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，所以双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是，教师要引导学生关注椭圆与双曲线的区别和联系；学生对数学图形，符号，文字三种语言的相互转化仍有一定困难.同时受学习椭圆的定势思维，容易混淆两种圆锥曲线的几何量关系（如：标准方程中a，b，c的关系，焦点位置的确定），在教学中应引起高度的重视，并采取相应的措施来克服这些不利因素.
（一）素养目标
1、通过情境展示冷却塔等实物培养学生的数学抽象素养
2、借助几何画板演示双曲线的形成过程，培养学生的直观想象素养
3、通过类比、分类讨论、探究等教学方法培养学生的逻辑推理素养和数学建模素养
4、通过对知识的应用、拓展，培养学生的数学运算素养
（二）学习目标
1、知识与技能目标：
（1）掌握双曲线的定义，并能根据定义恰当地选择坐标系，建立并推导双曲线的标准方程.
（2）掌握双曲线的标准方程，能根据所给条件画出双曲线的草图，并确定双曲线的标准方程.
（3）能利用双曲线的知识解决有关的简单实际应用问题.
2、过程与方法目标
1)通过从具体情境中抽象出双曲线模型的过程，培养学生的创新意识和素养，激发学生学习数学的热情.
2）通过双曲线标准方程的推导，渗透数形结合和等价转化的思想方法.
3)通过教师指导发现知识结论，让学生体验创造的乐趣，培养学生抽象概括能力和自主探究能力.
3、情感态度与价值观目标
1)通过双曲线概念的引入，培养学生的观察能力、探索能力、推理能力和数学应用意识.
2)通过画双曲线图形去感知几何图形的曲线美，简洁美，对称美。培养学生的审美情趣以及对数学学习的兴趣.
3)通过对椭圆与双曲线的类比学习，使学生体会知识间的相互联系，同时渗透运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想.
教学重点：双曲线的定义及其标准方程。
教学难点：双曲线标准方程的推导方法及化简过程。
双曲线及其标准方程
一、双曲线的定义：
定义的挖掘
二、双曲线的标准方程
1、推导； 2、对比.
三、例一：
例二：
观察电厂的冷却塔图片和广州新电视塔图片以及它们的结构特征，它的轴截面的外轮廓就是双曲线的一部分.
多媒体展示图片以及它们的结构特征，学生观察，实物感知双曲线的形状.
教师引入课题，告知学生本节课的学习目标、学习重点和学习难点.
探究一：
如何定义双曲线呢？为探究双曲线的定义，先回顾椭圆的定义.
平面内与两个定F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．
问题1：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
如图，在直线l上取两个顶点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1,F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.
我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|>|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.
如图，在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？两圆的交点M的轨迹是什么形状？
借助探究实验，引导学生总结动点在运动过程中的特征，从而引出双曲线的定义.
问题2：
（1）根据上述绘图原理，双曲线上的动点M应满足什么条件？
（2）常数|AB|与|F1F2|有什么关系？为什么？如果|AB|的范围改变（如：|AB|=0,|AB|=|F1F2|,|AB|>|F1F2|）动点的轨迹又是怎样变化的？
刚才给出定义时没有加上常数的范围，定义叙述不完整，所以现在要对定义进行补充，确保定义的严谨性.最终双曲线的定义为：
平面内与两个定点F1 ,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|AB|=|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.通常情况下，焦距用2c表示，常数用2a表示，显然这里有2c>2a>0.
（1）教师借助几何画板演示常数|AB|变化时图形的轨迹，直至解决问题，得到结论：0<|AB|<|F1F2|
当|AB|=0时，点的轨迹是线段|F1F2|的垂直平分线；
当|AB|=|F1F2|时，点的轨迹是直线|F1F2|上以F1,F2为端点向外的两条射线；
当|AB|>|F1F2|时，点的轨迹不存在.
以双曲线和椭圆作比较，两类曲线中a和c的大小关系不同，在椭圆中a>c>0，而在双曲线中c>a>0.要提醒学生注意.
探究二：
怎样建立双曲线的标准方程？类比椭圆标准方程的推导过程，推导双曲线的标准方程为：
.
其中
.
椭圆的标准方程有两种，双曲线的方程在推导时也可以换一种建系方式，得到另一种形式的方程： 
其中
两种形式的标准方程与椭圆标准方程进行比较，应该如何判断焦点所在轴？
学生思考并做答：在等式右边是1或其它正常数时，焦点在系数为正数的轴上.与椭圆的判断方法不一样，椭圆看分母：“谁大在谁上”，双曲线看系数：“谁正在谁上”.同样要给学生强调.
以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
②设点
设双曲线上任意一点M坐标为(x,y)，焦距为2c则常数记为2a.
③写出限制条件
④列出等式
⑤化简这一步由学生自己动手完成，并且找一个学生演板，最终化简为
像椭圆一样，为了使双曲线方程的形式更加简洁，结合c>a>0可设
其中
(意义讲性质时再涉及).于是双曲线的方程可化为
这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程，焦点坐标为
双曲线与椭圆标准方程中
的关系不同，要给学生强调
例1、已知双曲线的焦点
双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
问题：
（1）怎么求轨迹方程？
（2）能否直接写出轨迹方程？
变式一：
已知
动P点满足
求点P的轨迹方程.
变式二：
已知动点P满足
求点P的轨迹方程.
变式三：
已知在
中,
,点A运动时满足
,求点A的轨迹方程.
例2、已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
问题：
（1）如何作图？
（2）轨迹是什么？
思考1：若A、B两地同时听到炮弹爆炸声，则爆炸点的轨迹是什么？
思考2：根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置。而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢？
变式：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到该中心的距离都是1020m，试确定该巨响发生的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上）
收尾呼应视频展示为什么电热厂冷却塔和广州新电视塔要建成这个形状？
请同学们回顾本节课我们所学习的主要内容.
由学生自己总结本节课的收获：
①双曲线的定义；
②双曲线的标准方程的两种形式；
③双曲线的定义及标准方程的应用.
学生叙述不完整或不准确的地方，教师予以补充或纠正，同时提醒学生要牢记定义.
课本第121页练习1、2、3、4；
1.本课时教学容量较大，借助于多媒体教学增大了课堂教学效果与教学容量，形象生动直观，便于突破教学难点。
2、在教法、学法上我采用“提出问题、探究归纳与合作交流”相结合的方法，采用类比学习法、讨论法、先学后教引导式讲授法等方法培养学生自主学习，合作交流的学习习惯。让学生在自主探究合作交流中加深理解，分析实际问题中的数量关系，不但让学生“学会”还要让学生“会学”
3、以导学案的形式，创设由书本知识到生活中的实际问题为情境，让学生感受知识在生活中的应用，习题紧扣例题进行变式，深度挖掘教材，增加学生的自信及探究的积极性。通过学生讨论交流，归纳出一般的规律。
4、学生通过双曲线与椭圆的类比学习，及时让学生归纳，形成知识与方法。
5、鼓励学生自主学习，理解教材 ，深度挖掘教材，对教材中的例题进行变式设置对问题进行分解，最后师生共同完成。由于是例题，所以注重板书格式。
6、学案的设置，具有层次性，以问题为主线，引导学生自主探究，小结归纳。有梯度的设置习题，让学生去挑战中考题，感受中考的难度，体会成功的喜悦。并且注重问题及考察需要，体现先学后教、合作探究，自主学习的课改精神。
7、在时间的安排上，类比时椭圆的知识多了一点。
8、生生交流活动少，学生大多数参与程度不高，如果能发挥小组的带动作用，充分调动学生的能动性，真正发挥学生的主体地位，我想会更好一些，在引导学生讨论上做得不够，不能兼顾全体。
总之，学无止境，教无定法，我一直走在成长的路上。
设为正确答案
