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函数y=Asin(ωx+φ)具有丰富的现实背景，是描述现实生活周期现象的重要的数学模型在解决实际问题中有着重要的作用，由于正弦函数可以看作刻画单位圆上的点P从A(1，0)开始做逆时针方向的单位速度的运动的数学模型，自然地，函数y=Asin(ωx+φ)可看作刻画-般匀速圆周运动的一个重要数学模型，决定圆周运动状态的主要要素是运动的半径A、角速度w和起始角，核心是研究质点运动的时间x与质点到达的位置P之间的关系.
以筒车为背景引人函数y=Asin(ωx+φ)，具有现实意义，这是一个非常典型的函数建模过程。结合筒车的圆周运动研究函数y=Asin(ωx+φ)，不仅能联系实际，突出参数、ω、A中的物理意义，而且能联系函数解析式、函数的图象，并充分揭示它们之间的内在逻辑关系，为提升学生数学抽象、直观想象和逻辑推理等数学素养提供重要的平台.
研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质，关键是研究参数φ、ω、A，的变化对函数图象的影响.从函数y=sinx的图象出发，依次研究各参数对图象的影响，进而从整体上把握从正弦函数的图象通过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)图象的过程，体现了从特殊到一般的方法
本节是函数图像探究的重要范例，也是提高学生识图、画图、数形结合等能力的一次锻炼。在教师的引导下,充分利用多媒体,学生自主探究, 探索引起函数图像变化的原因；学生通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,鼓励学生大胆猜想，将直观问题抽象化，揭示本质，培养学生思维的深刻性。
学生在已经学习了作正弦曲线y=Asin(ωx+φ)的图象和五点画简图法,以及函数y=Asin(ωx+φ)的性质和函数y=sinx的周期等性质的求法，并且有了一定的读图能力，能根据图象抽象概括出一些简单的性质。但对于给出的两个同类函数的变换关系要多次的变换让他们晕头转向。为了帮助学生很好的理解其中的内在联系，我在这块内容中加进了我的探索，我发现学生对初一学习代数式的意义认识比较深刻，我就把代数式的另一面：几何形式展现出来，以形代数，以数现形。使y=Asin(ωx+φ)的图象变换的更加直观，容易理解，函数的形式可以多种多样，可以先伸缩再平移，也可以先平移再伸缩，任意的变换，畅通无阻。
(1)了解函数y=Asin(ωx+φ)的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界的密切联系，发展数学建模素养
(2)掌握参数A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，理解参数A、φ、ω中在圆周运动中的实际意义，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的素养.
(3)理解从正弦曲线到函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换过程，能用“五点(作图)法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
(4)运用函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质解决简单的数学问题和实际问题.
重点：用函数模型y=Asin(ωx+φ)来刻画一般的匀速圆周运动, 参数A、φ、ω对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，以及函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换过程.
难点:数学建模的过程与方法，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换与其解析式变换之间的内在关系.
函数y=Asin(ωx+φ)的图像 1. 探索φ对函数yAsin(ωx+φ)的图象的影响 引例1、2、3 2. 探索ω（ω>0）对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 3. 探索A（A>0）对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 典例 4.由函数y=sinx通过图像变换， 作出函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象可的步骤 |
一．创设情境，引人课题
(一)创设问题情境 提出研究问题
引导语:筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农村至今还在使用(图1(1))明朝科学家徐光启在《农政全书》用图示描绘了人们利用筒车轮的圆周运动进行灌溉的工作原理(用信息技术呈现筒车运动的实际情境)(图1(2))
(1) (2)
图1
问题1:假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，你能用个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗?
师生活动:教师利用多媒体展示筒车运动的真实情境，学生进行观察、思考、交流，鼓励学生自主探究，当学生遇到困难时，教师可以提出问题2，采用追问的方式进行引导，让学生在抽象简化的基础上再进行思考分析;若学生能自主地从数学的角度进行分析，则鼓励他们进行展示交流.
设计意图:通过筒车模型引入，体现数学的实际价值，使学生感受发现问题、提出问题的过程，并尝试分析问题和解决问题
(二)抽象简化问题，建立函数模型
问题2;筒车运动模型中，盛水筒的运动周而复始，具有周期性，可以考虑用三角函数模型去刻画它的运动规律，如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点(图2)，经过时间t后，盛水筒距离水面的高度 H 与哪些量有关?它们之间有怎样的关系呢?
师生活动:教师进行适时引导，并借助信息技术用几何形式动态呈现点P的运动状态;然后由学生经过讨论，分析出问题中与变量t和H 相关的量--筒车转轮的中心O 到水面的距离 h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置Q;及其对应的初始角φ(图3);再引导学生寻求变量t与H 之间的等量关系
学生建立适当的直角坐标系，并通过自主探究获得函数关系，教师将结果统一引导到函数H=rsin(ωx+φ)+h.
设计意图:结合筒车问题，建立三角函数的数学模型，表示其上质点的匀速圆周远动，引出本单元的核心内容;让学生经历数学建模的全过程，引导学生学会用数学的眼光看现实世界，用数学的语言描述世界.
二．分类探索，对比研究
1. 探索φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响
(一)明确函数y=Asin(ωx+φ)的研究思路
引导语:通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)的函数，只要清楚函数 y=Asin(ωx+φ)的性质，就可以把握盛水简的运动规律。这个函数由参数A、ω、φ所确定。因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质
问题3:从解析式看，函数y=sinx就是函数y=Asin(ωx+φ)在A=1，ω=1，φ=0时的特殊情形.能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图象与性质研究参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响呢?函数y=Asin(ωx+φ)中含有三个不同参数，你认为应按怎样的思路进行研究?
师生活动:教师引导学生从正弦函数出发研究各参数对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响并鼓励学生从整体上把握研究的策略:从局部到整体，从具体到抽象，可以允许学生有不同的选择策略.一般情况下，由于学生对平移变换有一定的认识，可以建议他们从φ对函数 y=sin(x+φ)图象的影响开始研究，再依次研究ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响.
设计意图:引导学生思考研究问题的一般思路和方法，有助于主动地学习，学会学习。
(二)探索参数对函数y=sin(x+φ)图象的影响
问题4:不妨先从研究参数中对函数y=sin(x+φ)的影响开始，即探究函数y=sinx与 y=sin(x+φ)之间图象的关系，请大家设计好研究的思路，借助信息技术进行分组实验探究.
引例1.试研究函数、
与函数
的图象之间的关系.
[设计意图：引导学生在遇到一个问题中涉及几个参数时，一般采取先“各个击破”后“归纳整合”的方法。
在具体探索过程中，充分利用信息技术，引导学生抓住正弦函数y=sinx的“五个”关键点识图、作图，引导学生在探索出平移变换的规律的同时，会用“五点”作图法和图象变换法画出函数
、
的图象。]
规律1：一般地，函数y=Asin(ωx+φ)（其中φ ≠0）的图象，可以看作正弦曲线上所有点向左(当φ >0时)或向右(当φ<0时) 平行移动│ φ │个单位长度而得到。这种变换称为平移变换。
2. 探索ω（ω>0）对函数y=sin(x+φ)的图象的影响
引例2.试研究函数
与函数y=sinx的图象之间的关系.
[设计意图：充分利用信息技术，引导学生抓住正弦函数的“五个”关键点画出函数
、
的图象，并且在学生探索出周期变换的规律的之后，引导学生分别用“五点”作图法和图象变换法作出函数
)的图象，引领学生朝目标函数模型
的图象问题的解决进发。]
规律2：一般地，函数y=sin(ωx+φ)的图象，可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时) 到原来的1/ω倍（纵坐标不变）而得到。
这种变换称为周期变换。
3. 探索A（A>0）对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
引例3.试研究函数
、
与函数y=sinx的图象之间的关系.
[设计意图：充分利用信息技术，引导学生抓住正弦函数y=sinx的“五个”关键点画出函数
、
的图象，并且在学生探索出振幅变换的规律的之后，引导学生分别用“五点”作图法和图象变换法（按φ→ω→A的顺序）作出函数
)的图像，引领学生“归纳整合”三个参数对函数图象的影响。]
规律3：一般地，函数y=Asin(ωx+φ)（A>0） 的图象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍（横坐标不变）而得到。函数y=Asin(ωx+φ)（A>0） 的值域是﹝-A，A﹞，最小值是-A，最大值是A；这种变换称为振幅变换。
思考2：由函数y=sinx的图象通过变换作出函数
的图象时，可以
先进行周期变换，再进行平移变换吗？
[设计意图：充分利用信息技术，引导学生在具体作图中，对比按φ→ω→A的顺序和按ω→φ→A的顺序作出函数
的图象时，图象平移的量的不同！并进一步引领学生加深三个参数对函数图象的影响的理解。]
4．由函数y=sinx通过图象变换，作出函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, w>0) 的图象的步骤：
（1）先平移后伸缩的步骤程序如下:
y=sinx的图象
得y=sin(x+φ)的图象
得y=sin(ωx+φ)的图象
得y=Asin(ωx+φ)的图象.
（2）先伸缩后平移的步骤程序如下:
y=sinx的图象
得y=sin(ωx)的图象
得y=sin(ωx+φ)的图象
得y=Asin(ωx+φ)的图象
设为正确答案
